Условия: Найти градусную мерю меньшего угла прямоугольного треугольника, если радиус вписанного круга равен полуразности катетов. В равносторонний

Условия: Найти градусную мерю меньшего угла прямоугольного треугольника, если радиус вписанного круга равен полуразности катетов. 
2. В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок MN, который касается ее и параллелен стороне AB. Определите периметр трапеции AMNB, если длина стороны AB = 18. 
Заранее Спасибо.

  • 1)
    Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле 
    r=(а+в-с):2,
     где а и в - катеты, с - гипотенуза треугольника. 
    По условию задачи  радиус вписанного круга равен (а-в):2.  
    Вставим это значение радиуса в формулу:(а-в):2=(а+в-с):2  
    Домножим обе части уравнения на 2 
    а-в=а+в-с  
    2в=с  
    в=с:2  
    Катет в вдвое меньше гипотенузы.  Следовательно, он противолежит углу 30ᵒ  
    --------------------------
    2) 
    Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной трети высоты этого треугольника, а диаметр -двум третям. 
    Высоту правильного треугольника находят по формуле
    h=(a√3):2, где а - сторона треугольника. 
    h=(18√3):2 
    КН  ( диаметр окружности) = две трети высоты ВН = 2(18√3):2):3=6√3 
    Окружность оказалось вписанной в трапецию  AMNB, высота которой равна диаметру окружности, т.е. 6√3 
    Опустив из вершины   угла М высоту МН1 к основанию АВ, получим прямоугольный треугольник АМН1 с противолежащим высоте углом А= 60ᵒ. 
    АМ отсюда равна К1Н1:sin60ᵒ =12 см  
    АН₁ =АК₁*sin30ᵒ=6 см 
    СН₂=АН₁=6см 
    Н₁Н₂=МN =6 см  
    Р трапеции AMNB=12*2+18+6=48 см

See also: