Квадратное уранение х^2+px+q=0 имеет корни x1 и х Найти р и q если х1 +1 и х2+1 являются корнями уравнения х^2 – p^2x+pq=0

Квадратное уранение х^2+px+q=0 имеет корни x1 и х2. Найти р и q если х1 +1 и х2+1 являются корнями  уравнения х^2 - p^2x+pq=0

  • Уравнение x^2+px+q=0:

    Так как х1 и х2 - его корни, то по Теореме Виета: х1+х2=-р и х1х2=q

    Уравнение x^2-p^2x+pq=0:

    Так как (х1+1) и (х2+1) - его корни, то по Теореме Виета: х1+1+x2+1=p^2 и (x1+1)(x2+1)=pq

    Имеем систему с четырьмя уравнениями и четырьями неизвестными:

    {x1+x2=-p
    {x1x2=q
    {x1+x2+2=p^2 => x1+x2=p^2-2
    {(x1+1)(x2+1)=pq
    (x1+1)(x2+1)=pq
    x1x2+x1+x2+1=pq
    x1x2+(x1+x2)=pq-1

    Подставляем значения x1x2=q и (x1+x2)=-p

    {-p=p^2-2 (1)
    {q-p=pq-1 (2)

    (1) -p=p^2-2
    p^2+p-2=0
    [p=1
    [p=-2

    (2) p=1 : q-1=q-1 => q - любое действительное число
    p=-2 : q+2=-2q-1; 3q=-3; q=-1

    Ответ: p=1 и q=любое действительное число; p=-2 и q=-1


See also: